Question

設(shè)函數(shù)D(x)=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，則下列結(jié)論正確的是

①②③④

（寫出所有正確結(jié)論的序號）．
①D（x）的定義域?yàn)镽         
②D（x）的值域?yàn)閧0，1}
③D（x）是偶函數(shù)
④D（x）是周期函數(shù)           
⑤D（x）是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，可知①結(jié)論正確；由函數(shù)值域的定義易知②結(jié)論正確；由偶函數(shù)定義可證明③結(jié)論正確；由函數(shù)周期性定義可判斷④結(jié)論正確，故選C由函數(shù)單調(diào)性定義，易知⑤結(jié)論錯(cuò)誤；

解答：解：∵函數(shù)D(x)=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，{有理數(shù)}∪{無理數(shù)}={實(shí)數(shù)}，故①D（x）的定義域?yàn)镽正確；
∵函數(shù)D(x)=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，故②D（x）的值域?yàn)閧0，1}正確；
∵D(-x)=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

=D（x），∴D（x）是偶函數(shù)，故③D（x）是偶函數(shù)正確；
∵D(x+1)=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

=D（x），∴T=1為其一個(gè)周期，故④D（x）是周期函數(shù)正確；
∵D（

2

）=0，D（2）=1，D（

5

）=0，顯然函數(shù)D（x）不是單調(diào)函數(shù)，故⑤D（x）是單調(diào)函數(shù)錯(cuò)誤；
故答案為：①②③④

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的定義，偶函數(shù)的定義和判斷方法，函數(shù)周期性的定義和判斷方法，函數(shù)單調(diào)性的意義，屬基礎(chǔ)題