Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100米處射擊，如果命中記3分，且停止射擊，若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已經(jīng)在150米處，這時命中記2分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已在200米處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分，已知射手甲在100m處擊中目標的概率為

1

2

，他的命中率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的．
（1）求這名射手在三次射擊中命中目標的概率；
（2）求這名射手比賽中得分的均值．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，記出事件，射手在三次射擊中命中目標包括射擊一次命中目標，射擊兩次第二次命中目標，射擊三次只有第三次命中目標，根據(jù)事件寫出概率．
（2）要求射手比賽中得分的均值，先要求得分的分布列，由題意知射手甲得分為ξ，它的取值是0、1、2、3，看出變量取值不同時對應的事件，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式得到結果．

解答：解：記第一、二、三次射擊命中目標分別為事件A，B，C三次均未命中目標的事件為D．
依題意P(A)=

1

2

．
設在xm處擊中目標的概率為P（x），則P(x)=

k

x2

，
由x=100m時P(A)=

1

2

，
∴

1

2

=

k

1002

，
∴k=5000，
P(x)=

5000

x

，P(B)=

5000

1502

=

2

9

，P(C)=

5000

2002

=

1

8

，
P(D)=P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

．
（Ⅰ）由于各次射擊都是獨立的，
∴該射手在三次射擊擊中目標的概率為P=P(A)+P(

.

A

B)+P(

.

A

.

B

C)，
P=P(A)+P(

.

A

)P(B)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(C)
=

1

2

+

1

2

×

2

9

+

1

2

×

7

9

×

1

8

=

95

144

．
（Ⅱ）依題意，設射手甲得分為ξ，
則P(ξ=3)=

1

2

，
P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，
P(ξ=1)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

P(ξ=0)=

49

144

，
∴ξ的分布列為

∴Eξ=3×

1

2

+2×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

85

48

．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．