Question

某種項(xiàng)目的射擊比賽，開(kāi)始時(shí)選手在距離目標(biāo)100m處射擊，若命中則記3分，且停止射擊．若第一次射擊未命中，可以進(jìn)行第二次射擊，但需在距離目標(biāo)150m處，這時(shí)命中目標(biāo)記2分，且停止射擊．若第二次仍未命中，還可以進(jìn)行第三次射擊，此時(shí)需在距離目標(biāo)200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊．若三次都未命中則記0分，并停止射擊．已知選手甲的命中率與目標(biāo)的距離的平方成反比，他在100m處擊中目標(biāo)的概率為

1

2

，且各次射擊都相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求選手甲在三次射擊中命中目標(biāo)的概率；
（Ⅱ）設(shè)選手甲在比賽中的得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）記選手甲第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為事A、B、C，三次均未擊中目標(biāo)為事件D，設(shè)選手甲在x處擊中目標(biāo)的概率為P（x），則P(x)=

x

k2

．當(dāng)x=100時(shí)求出k的值，再有獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求得；
（II）由于ξ表示選手甲在比賽中的得分，根據(jù)題意則ξ的可取值0，1，2，3，利用隨機(jī)變量的定義求出每一個(gè)對(duì)應(yīng)值下的事件的概率，并列出分布列，利用期望公式求期望．

解答：解：記選手甲第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為事A、B、C，三次均未擊中目標(biāo)為事件D，
則P(A)=

1

2

．
設(shè)選手甲在x處擊中目標(biāo)的概率為P（x），則p（x）=

k

x2

．x=100時(shí)P（A）=

1

2

，
得

k

1002

=

1

2

，∴k=5000，P(x)=

5000

x2

．
∴P(B)=

2

9

，P(C)=

1

8

，P(D)=P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

，
（Ⅰ）由于各次射擊都是相互獨(dú)立的，所以選手甲在三次射擊中擊中目標(biāo)的概率為P=P(A)+P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•C)=

95

144

，
（Ⅱ）由題設(shè)知，ξ的可取值0，1，2，3，
P(ξ=3)=

1

2

，P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，P(ξ=1)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，P(ξ=0)=

49

144

．
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	49 144	7 144	1 9	1 2

數(shù)學(xué)期望為Eξ=

85

48

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)于題意的準(zhǔn)確理解能力及邏輯思維能力，重點(diǎn)考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式及離散型隨機(jī)變量的分布列并利用分布列求其期望．