Question

已知橢圓：經(jīng)過如下五個點(diǎn)中的三個點(diǎn)：，，，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>和關(guān)于原點(diǎn)對稱，由橢圓的對稱性可知和在橢圓上。因?yàn)?/span>在橢圓上則和不在橢圓上。所以在橢圓上。解方程組可得的值。（Ⅱ）需討論哪個角為直角只討論和即可，因?yàn)辄c(diǎn)的位置沒有固定，和的情況相同。如當(dāng)時，設(shè)直線，聯(lián)立方程消去消去得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)，則直線垂直其斜率相乘等于，列式計算可得，則說明原點(diǎn)在的外部，符合條件，否則不符合條件舍掉。在求面積時若采用先求弦再求點(diǎn)到的距離最后求面積的方法計算過于繁瑣，所以求的面積時可用分割法，計算較簡單。

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由知，和不在橢圓上，即橢圓經(jīng)過，，.

于是.

所以 橢圓的方程為：. 2分

（Ⅱ）①當(dāng)時，設(shè)直線，由得

.設(shè)，則，

所以

.

于是，此時，所以 直線.

因?yàn)?/span>，故線段與軸相交于，即原點(diǎn)在線段的延長線上，即原點(diǎn)在的外部，符合題設(shè). 6分

所以

.

當(dāng)時取到最大值. 9分

②當(dāng)時，不妨設(shè).

設(shè)直線，由得.

所以 或.

所以，由，可得直線.

由得.

所以.

所以線段與軸相交于.

顯然原點(diǎn)在線段上，即原點(diǎn)在的內(nèi)部，不符合題設(shè).

綜上所述，所求的面積的最大值為. 12分

考點(diǎn)：1、橢圓的對稱性和方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系問題；3、三角形面積的求法。