Question

17．已知矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&\\{c}&{2}\end{array}]$有特征值λ₁=4及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$，則直線(xiàn)2x-y+3=0在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下的直線(xiàn)方程是7x-5y-12=0．

Answer 1

分析 利用特征值與特征向量的定義，建立方程，求出b，c，即可求矩陣M，設(shè)點(diǎn)A′（x′，y′）為直線(xiàn)2x-y+3=0上的任一點(diǎn)，它在矩陣M的作用下得到的點(diǎn)為A（x，y），進(jìn)一步求得x′，y′與x，y的關(guān)系，代入直線(xiàn)方程得答案．

解答 解：由題知，$[\begin{array}{l}{1}&\\{c}&{2}\end{array}]$=4$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{8}\\{12}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+3b=8}\\{2c+6=12}\end{array}\right.$，解得b=2，c=3，
∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，
設(shè)點(diǎn)A′（x′，y′）為直線(xiàn)2x-y+3=0上的任一點(diǎn)，
它在矩陣M的作用下得到的點(diǎn)為A（x，y），
則$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=x′+2y′}\\{y=3x′+2y′}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{y-x}{2}}\\{y′=\frac{3x-y}{4}}\end{array}\right.$，代入2x-y+3=0，得7x-5y-12=0．
故答案為：7x-5y-12=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查矩陣與變換、曲線(xiàn)在矩陣變換下的曲線(xiàn)的方程，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．