Question

（2012•威海二模）已知函數(shù)f(x)=sinωx•cosωx+

3

cos2ωx-

3

2

（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

4

．
（I）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)f（x）的解析式化為sin(2ωx+

π

3

)，根據(jù)周期求出ω=2，從而得到f(x)=sin(4x+

π

3

)．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個

π

8

個單位后，得到 y=sin[4(x-

π

8

)+

π

3

]=sin(4x-

π

6

)的圖象，再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍得到y=sin(2x-

π

6

)的圖象，可得
g(x)=sin(2x-

π

6

)，函數(shù)y=g（x）與y=-k在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個交點，由正弦函數(shù)的圖象可得實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=

1

2

sin2ωx+

3

1+cos2ωx

2

-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin(2ωx+

π

3

)，-------（3分）
由題意知，最小正周期T=2×

π

4

=

π

2

，又T=

2π

2ω

=

π

ω

=

π

2

，所以ω=2，
∴f(x)=sin(4x+

π

3

)．-------------（6分）
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個

π

8

個單位后，得到 y=sin[4(x-

π

8

)+

π

3

]=sin(4x-

π

6

)的圖象，
再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到y=sin(2x-

π

6

)的圖象，所以g(x)=sin(2x-

π

6

)．---------（9分）
令2x-

π

6

=t，∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤t≤

5

6

π，g（x）+k=0，在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個實數(shù)解，
即函數(shù)y=g（x）與y=-k在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個交點，由正弦函數(shù)的圖象可知-

1

2

≤-k＜

1

2

或-k=1
∴-

1

2

＜k≤

1

2

，或k=-1．--------（12分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．