Question

用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體容器的框架，如果所制的容器的長與寬之比為2：1，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)長方體的寬為xm，則長為2xm，高為（4.5-3x）m，易求x的范圍，則長方體的容積為V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（0＜x＜

3

2

），利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的極大值，可判斷即為最大值．

解答： 解：設(shè)長方體的寬為xm，則長為2xm，高為（4.5-3x）m，
由

x＞0 4.5-3x＞0

，解得0＜x＜

3

2

，
故長方體的容積為V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（0＜x＜

3

2

），
從而V′（x）=18x-18x²=18x（1-x），
令V′（x）=0，解得x=1或x=0 （舍去），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜

3

2

時(shí)，V′（x）＜0，
故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（x）的最大值，
從而最大體積為V（1）=9×1²-6×1³=3（m³），此時(shí)容器的高為4.5-3=1.5 m．
因此，容器高為1.5 m時(shí)容器的容積最大，最大容積為3 m³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題中函數(shù)的最值問題，根據(jù)已知條件正確表示出目標(biāo)函數(shù)是解題關(guān)鍵，注意函數(shù)的定義域要考慮實(shí)際意義．