Question

已知數(shù)列{a_n}有a₂=P（常數(shù)P＞0），其前N項和為S_n，滿足S_n=

n(an-a1)

2

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的首項a₁，并判斷{a_n}是否為等差數(shù)列，若是求其通項公式，不是，說明理由；
（ 2）令P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，T_n是數(shù)列{P_n}的前n項和，求證：T_n-2n＜3．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出數(shù)列的遞推關(guān)系式（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，再通過一步步代換求出數(shù)列的通項公式，最后看是否滿足等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論．
（2）先對數(shù)列的通項整理得P_n=2+2（

1

n

-

1

n+2

），再利用裂項求和法求數(shù)列{P_n}的前n項和T_n，易作出判斷；

解答： （1）解：由S₁=a₁=

a1-a1

2

=0，得a₁=0，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

n-1

2

an-1，
故（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
故當(dāng)n＞2時，a_n=

n-1

n-2

an-1=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

…

4

3

•

3

2

•

2

1

•a₂=（n-1）p，
由于n=2時a₂=p，n=1時a₁=0，也適合該式，
故對一切正整數(shù)n，a_n=（n-1）p，
a_n+1-a_n=p，
由于p是常數(shù)，故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
a_n=（n-1）p；
（2）證明：S_n=

n(an-a1)

2

=

n(n-1)p

2

，
P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=2n+2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=2n+2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=2n+3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）．
∴T_n=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＜3．

點評：本題主要考查數(shù)列的求和以及數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和數(shù)列與不等式的綜合，是對知識的綜合考查，屬于中檔題．