分析 (Ⅰ)當a=2時,$f(x)=ln(1+x)-\frac{2x}{1+x}$,f(1)=ln2-1,k=f′(1)=0,由此能求出切線方程.
(Ⅱ)${f^'}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{{a({x+1})-ax}}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{{x-({a-1})}}{{{{({x+1})}^2}}}$,由此利用導數(shù)性質和分類討論思想能求出當且僅當a=1時f(x)≥0恒成立.
解答 解:(Ⅰ)當a=2時,$f(x)=ln(1+x)-\frac{2x}{1+x}$,f(1)=ln2-1,…(1分),
${f^'}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{{2({x+1})-2x}}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{x-1}{{{{({1+x})}^2}}}$,…(2分)
∴k=f′(1)=0,…(3分)
∴切線方程為y=ln2-1.…(4分)
(Ⅱ)${f^'}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{{a({x+1})-ax}}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{{x-({a-1})}}{{{{({x+1})}^2}}}$.
①當a≤0時,a-1≤-1,又x∈(-1,+∞),
∴x-(a-1)>0,∴f′(x)>0,∴f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù),…(6分)
又∵f(0)=0,∴當-1<x<0時,f(x)<0,與題意不符.…(7分)
②當a>0,令f′(x)=0,得x=a-1>-1,
且-1<x<a-1時,f′(x)<0,x>a-1時,f′(x)>0,
∴f(x)在x=a-1時有極小值,也是最小值,
∴f(x)min=f(a-1)=lna-a+1≥0,…(9分)
記g(x)=lnx-x+1,則${g^'}(x)=\frac{1}{x}-1=-\frac{x-1}{x}$,
令g′(x)=0,得x=1,
當0<x<1時,g′(x)>0,當x>1時,g′(x)<0,
∴g(x)在x=1處有極大值就是最大值為g(1)=0,…(11分)
∴l(xiāng)na-a+1最大值為0,
又lna-a+1≥0,故a=1,
即當且僅當a=1時f(x)≥0恒成立.…(12分)
點評 本題考查切線方程的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意導數(shù)性質的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 在區(qū)間(-2,1)上f(x)是增函數(shù) | B. | 在(1,3)上f(x)是減函數(shù) | ||
C. | 當x=4時,f(x)取極大值 | D. | 在(4,5)上f(x)是增函數(shù) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2$\sqrt{2}$-3 | B. | 2$\sqrt{2}$-1 | C. | 2$\sqrt{2}$+3 | D. | 2$\sqrt{2}$+1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{2}{13}$ | C. | $\frac{11}{3}$ | D. | $\frac{1}{14}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源:2017屆安徽合肥一中高三上學期月考一數(shù)學(文)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調區(qū)間.
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