Question

5．已知f（x）=x²+alog₂（x²+2）+a²-2有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)得到方程f（x）=0的根為0，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=x²+alog₂（x²+2）+a²-2，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
方程x²+alog₂（x²+2）+a²-2=0有唯一解，等價(jià)為f（x）=0有唯一的解x=0，
則alog₂2+a²-2=a+a²-2=0，得a=-2 或a=1．
當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=x² -2log₂（x²+2）+2，由于f（$\sqrt{2}$）=0，此時(shí)，函數(shù)f（x）不止一個(gè)零點(diǎn)，
不滿足條件，故舍去．
當(dāng)a=1 時(shí)，f（x）=x²+log₂（x²+2）-1，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）=0，滿足條件，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)得到方程的根是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．