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如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，AA1⊥底面ABCD，
AA1=3，點E在棱CC1上，點F是棱C1D1的中點
（1）當AF∥平面BDE時，求CE的長；
（2）當CE=1時，求二面角A1-BE-D的余弦值．

解：（1）建立如圖所示空間直角坐標系，
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）F（0，1，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2）（2分）
（1）設CE=a，則E（0，2，a）
設是平面BDE的一個法向量，，
，（4分）
又，又，（6分）
（2）設是平面A1BE的法向量，，（8分）
又，，（11分）
所以二面角A1-BE-D的余弦值為（12分）
分析：（1）以D為原點，DA，DC，DD1，分別為X，Y，Z軸，分別求出各點的坐標，進而求出直線AF的方向向量及平面BDE的法向量，代入線面夾角向量法公式，即可得到滿足條件的E的坐標，進而求出答案．
（2）求出平面A1BE的一個法向量的坐標及平面BDE的一個法向量的坐標，代入二面角向量法公式，即可得到二面角A1-BE-D的余弦值．
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的性質，其中建立空間坐標系，然后將空間直線與平面、平面與平面位置關系轉化為向量之間的關系，是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA1=2．
（Ⅰ）求證：C1D∥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-A1C1-A的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，側棱與底面邊長均為2a，且∠A1AD=∠A1AB=60°，則側棱AA1和截面B1D1DB的距離是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱A1A=2，
（Ⅰ）證明：AC⊥A1B；
（Ⅱ）若棱AA1上存在一點P，使得
AP
=λ
PA1
，當二面角A-B1C1-P的大小為300時，求實數λ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•泉州模擬）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD．
（Ⅰ）從下列①②③三個條件中選擇一個做為AC⊥BD1的充分條件，并給予證明；
①AB⊥BC，②AC⊥BD；③ABCD是平行四邊形．
（Ⅱ）設四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都為1，且∠BAD為銳角，求平面BDD1與平面BC1D1所成銳二面角θ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•天津）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．
（Ⅰ）證明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1-CE-C1的正弦值．
（Ⅲ）設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為
2
6
，求線段AM的長．

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