Question

設函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）滿足：f（-1）=0，且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）當x∈[-2，2]時，求函數(shù)?（x）=ax²+btx+1的最大值g（t）．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）滿足：f（-1）=0，代入可以求得a與b的關系式，再根據(jù)對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，可以求出a與b的關系式；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，已知a，b的值，可以代入求得函數(shù)?（x）=ax²+btx+1，配方法求出函數(shù)?（x）的最值；

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）滿足：f（-1）=0，可得a-b+1=0，可得b=a+1
∵對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，
∴ax²+bx+1=ax²+（a+1）x+1≥0，恒成立，
∴

a＞0 △=0

解得（a+1）²-4a=（a-1）²=0，
∴a=1，b=2；
故答案為：a=1，b=2…（6分）
（2）當x∈[-2，2]時，求函數(shù)?（x）=ax²+btx+1=x²+2tx+1=（x+t）²+1-t²，
函數(shù)的對稱軸為x=-t，
當t≤0時，-t≥0，f（x）在（-2，-t）上為減函數(shù)，
f（x）在x=-2處取得最大值，g（x）_max=g（-2）=5-4t；
當t＞0時，在x=2處取得最大值，g（x）_max=g（2）=5+4t；
函數(shù)?（x）=ax²+btx+1的最大值g（t）．
∴g(t)=

5-4t  &t≤0 5+4t  &t＞0

…（12分）

點評：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的恒成立問題，考查的知識點比較單一，是一道基礎題；