Question

已知x=2是函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m≠0）的一個(gè)極值點(diǎn)
（1）用含m的代數(shù)式表示n．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f′（x）=3mx²+2nx，根據(jù)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0可得：12m+4n=0，所以n=-3m；
（2）f′（x）=3mx²-6mx，要判斷f′（x）的符號(hào)，所以令f′（x）=0即可得到x=0，或2，這樣討論m＞0，m＜0兩種情況，從而判斷二次函數(shù)f′（x）在區(qū)間（-∞，0），（2，+∞），（0，2）上的符號(hào)從而找出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）f′（x）=3mx²+2nx；
∵x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)；
∴12m+4n=0；
∴n=-3m；
（2）f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx；
令f′（x）=0得x=0，或2；
①若m＞0，則x∈（-∞，0），和（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞增，這兩個(gè)區(qū)間是f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，該區(qū)間是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
②若m＜0，則x∈（-∞，0），和（2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞減，這兩個(gè)區(qū)間是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，該區(qū)間是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)極值點(diǎn)的定義，函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的情況，以及通過(guò)判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，找單調(diào)區(qū)間的方法．