Question

若函數(shù)f（x）=（1+cosx）¹⁰+（1-cosx）¹⁰，x∈[0，π]，則其最大值等于（　�。�

• A、2048
• B、512
• C、2
• D、1024

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)和組合數(shù)公式求出函數(shù)f（x）的最大值．

解答： 解：按cosx的升冪排列，(1+cosx)10=1+

C

1 10

cosx+

C

2 10

cos2x+…+

C

10 10

cos10x，
(1-cosx)10=1-

C

1 10

cosx+

C

2 10

cos2x-…+

C

10 10

cos10x
兩者相加時(shí)，cosx的奇數(shù)次冪抵消，偶數(shù)次冪系數(shù)相同，
所以f（x）=2[1+

C

2 10

cos2x+

C

4 10

cos4x+

C

6 10

cos6x+

C

8 10

cos8x+

C

10 10

cos10x]
又x∈[0，π]，則cosx偶數(shù)次冪的最大值為1，
所以f（x）最大值為：2[1+

C

2 10

+

C

4 10

+

C

6 10

+

C

8 10

+

C

10 10

]（1）
又

C

6 10

=

C

4 10

，

C

8 10

=

C

2 10

，

C

10 10

=1，
所以（1）式=4〔1+

C

2 10

+

C

4 10

〕=4〔1+

10×9

2

+

10×9×8×7

4×3×2

〕=1024，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，組合數(shù)公式，以及二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，屬于難題．