（本小題滿分12分）
四棱錐,面⊥面.側面是以為直角頂點的等腰直角三角形，底面為直角梯形，,∥，⊥,為上一點，且.

（Ⅰ）求證⊥；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.
（Ⅰ）先證⊥面，再證⊥面，進而得證；
（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）面⊥面且交線為又⊥，
∴⊥面，
∴⊥，                                                           ……3分
∵⊥，，
∴⊥面，，                                          ……5分
∴⊥.                                                            ……6分
（Ⅱ）設為中點，則⊥，∴⊥面,
建系如圖，則,
∴，,                                    ……8分
設為面的法向量,
則，∴為面的一個法向量,                  ……9分
為面的法向量,                                         ……10分
∴,                                           ……11分
∴二面角的正弦值為.                                      ……12分
點評：用定理證明立體幾何問題時要緊扣定理，定理中要求的條件一個也不能漏；用空間向量求解二面角時，要仔細計算，還要注意題目中的二面角時銳角還是鈍角.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知斜三棱柱的各棱長均為2， 側棱與底面所成角為，且側面底面.

（1）證明：點在平面上的射影為的中點；
（2）求二面角的大�。�
（3）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，在多面體ABCDE中，,,是邊長為2的等邊三角形，，CD與平面ABDE所成角的正弦值為.

（1）在線段DC上是否存在一點F，使得，若存在，求線段DF的長度，若不存在，說明理由；
（2）求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分別是棱AB、BC、CP的中點，AB＝AC＝1，PA＝2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為(　　)
A.              B.             C.             D.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）
如圖1，在等腰梯形中，，，，為上一點， ，且．將梯形沿折成直二面角，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）設點關于點的對稱點為，點在所在平面內(nèi)，且直線與平面所成的角為，試求出點到點的最短距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設α，β為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則下列命題正確的是(      )
A．若mα，nβ，m∥n，則α∥β
B．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β
D．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，則m⊥α

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不同直線，則下列命題不正確的是
A．α∥β，m⊥α，則m⊥β
B．m∥n，m⊥α，則n⊥α
C． n∥α，n⊥β，則α⊥β
D．αβ=m，n與α、β所成的角相等，則m⊥n

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖，在三棱錐P－ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC＝90°，PB＝AC＝2PA＝4，O為AC的中點。

（Ⅰ）求證：BO⊥PA；
（Ⅱ）判斷在線段AC上是否存在點Q（與點O不重合），使得△PQB為直角三角形？若存在，試找出一個點Q，并求的值；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，直四棱柱的底面是邊長為１的正方形，側棱長，則異面直線與的夾角大小等于___________.

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