Question

（本小題滿分12分）已知拋物線，過點的直線交拋物線于A，B兩點，坐標原點為O，.

（1）求拋物線的方程；

（2）當以AB為直徑的圓與y軸相切時，求直線的方程.

Answer 1

（1）y2＝4x；（2），或.

【解析】

試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題等基礎知識，同時考查考生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力以及數(shù)形結合思想. 第一問，設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到y(tǒng)1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二問，結合第一問的過程，利用兩種方法求出的長，聯(lián)立解出m的值，從而得到直線的方程.

試題解析：（Ⅰ）設l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（）

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，則．

因為，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，

得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）（）化為y2－4my＋8＝0．

y1＋y2＝4m，y1y2＝8． …6分

設AB的中點為M，則|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①

又， ②

由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，

解得m2＝3，．

所以，直線l的方程為，或． …12分

考點：拋物線的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題.