Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ-2sinθ，2），$\overrightarrow$=（sinθ，1）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求tan2θ的值；
（Ⅱ）f（θ）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平行向量的坐標(biāo)關(guān)系便可得到cosθ=4sinθ，從而tanθ=$\frac{1}{4}$，根據(jù)正切的二倍角公式即可求出tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$；
（Ⅱ）先求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的坐標(biāo)，再由兩角和的正弦公式即可得到f（θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+\frac{5}{2}$，而由θ的范圍即可求出2θ$+\frac{π}{4}$的范圍，從而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可得出sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的范圍，從而得到f（θ）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
∴cosθ-2sinθ-2sinθ=0；
∴cosθ=4sinθ；
∴$tanθ=\frac{1}{4}$；
∴$tan2θ=\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}}=\frac{8}{15}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（cosθ-sinθ，3）$；
∴f（θ）=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow=sinθcosθ-si{n}^{2}θ+3$=$\frac{1}{2}sin2θ-\frac{1-cos2θ}{2}+3$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+\frac{5}{2}$；
∵$θ∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$（2θ+\frac{π}{4}）∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$；
∴$sin（2θ+\frac{π}{4}）∈$$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$；
∴2≤f（θ）≤$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$；
∴f（θ）的值域?yàn)閇2，$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查平行向量的坐標(biāo)的關(guān)系，切化弦公式，二倍角的正余弦、正切公式，向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和的正弦公式，并熟悉正弦函數(shù)的圖象．