Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱AB的中點(diǎn)，則直線C₁E與平面ACC₁A₁所成角的正切值為

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．

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系O-xyz，分別求出面ACC₁A₁的法向量和直線C₁E的方向向量，代入向量夾角公式，可得C₁E與平面ACC₁A₁所成角的正弦值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出正切值．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系O-xyz
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2
則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（1，0，0），C₁（2，2，2）
根據(jù)正方體的幾何特征，可得BD⊥平面ACC₁A₁，
故

BD

=（-2，2，0）是平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量
又∵

C1E

=（-1，-2，-2）
故C₁E與平面ACC₁A₁所成角θ滿足sinθ=

| C1E • BD |

| C1E |•| BD |

=

2

2 2 •3

=

2

6

則cosθ=

34

6

，tanθ=

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故答案為：

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點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將線面夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．