Question

6．已知m≥0，滿(mǎn)足條件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ y≤mx-m\end{array}\right.$的目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍是[0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)m≥0，我們可以判斷直線y=mx-m的傾斜角位于區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上，由此我們不難判斷出滿(mǎn)足約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ y≤mx-m\end{array}\right.$的平面區(qū)域的形狀，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=x+my對(duì)應(yīng)的直線與直線y=mx-m垂直，分析z取最大值的位置，由此構(gòu)造出關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可求出m 的取值范圍．

解答 解：當(dāng)0＜m＜1，滿(mǎn)足條件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ y≤mx-m\end{array}\right.$的區(qū)域如圖，

當(dāng)直線z=x+my經(jīng)過(guò)A時(shí)，z最大，解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=mx-m}\end{array}\right.$得到A（$\frac{m}{m-1}$，$\frac{m}{m-1}$），
此時(shí)z最大值為$\frac{m}{m-1}+\frac{{m}^{2}}{m-1}$＜2，解得m∈R，
所以0＜m＜1滿(mǎn)足題意；
當(dāng)m=0時(shí)，符合題意；
當(dāng)m=1時(shí)，不滿(mǎn)足題意；
當(dāng)m＞1，此時(shí)x，y對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖

當(dāng)直線z=x+my經(jīng)過(guò)A時(shí)，z最大，解$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=mx-m}\end{array}\right.$得到A（$\frac{m+4}{m+1}$，$\frac{3m}{m+1}$），
z的最大值為$\frac{m+4}{m+1}+\frac{3{m}^{2}}{m+1}=\frac{3{m}^{2}+m+4}{m+1}$＜2，解得不等式解集為∅，
所以m＞1不滿(mǎn)足題意；
綜上滿(mǎn)足條件的m的范圍是[0，1）；
故答案為：[0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中根據(jù)平面直線方程判斷出目標(biāo)函數(shù)z=x+my對(duì)應(yīng)的直線與直線y=mx-m垂直，分析z取得最大值的位置，并由此構(gòu)造出關(guān)于m的不等式組．