Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在$[{\frac{1}{2}\;，\;\frac{3}{2}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)f（x）進行求導，令導函數(shù)大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范圍，
（2）將a=1代入函數(shù)f（x）的解析式，判斷其單調性進而得到最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（a＞0），
∵函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$≥0對x∈（2，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對x∈（2，+∞）恒成立，即a≥$\frac{1}{x}$對x∈（2，+∞）恒成立，
∴a≥$\frac{1}{2}$；
（2）當a=1時，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴當x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，1）上單調遞減；
當x∈（1，$\frac{3}{2}$]時，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，$\frac{3}{2}$]上單調遞增，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上有唯一極小值點，故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0
又f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{3}$+ln$\frac{3}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{3}{2}$）=1-ln2+$\frac{1}{3}$-ln$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{3}$-ln3，
∵e^，4＞27
∴f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{3}{2}$）＞0，即f（$\frac{1}{2}$）＞f（$\frac{3}{2}$）
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的最大值f（x）max=f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2．
綜上可知，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的最大值是1-ln2，最小值是0．

點評 此題是個中檔題．本題主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于等于零，已知單調性求參數(shù)的范圍往往轉化為求相應函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，很好的考查了學生的計算能力．