Question

已知函數(shù)f（x）=|1-

1

x

|（x＞0），當(dāng)0＜a＜b，若f（a）=f（b）時，則有（　　）

• A、ab＞1
• B、ab≥1
• C、ab≥

  1

  2

• D、ab＞

  1

  2

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得f（x）=

1- 1 x  ，  x≥1 1 x -1 ，0＜x＜1

，故f（x）在（0，1）內(nèi)遞減，在（1，+∞）內(nèi)遞增．由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得

1

a

+

1

b

=2，再利用基本不等式求得ab＞1．

解答： 解：∵x＞0，當(dāng)x≥1時，1-

1

x

≥0，f（x）=|1-

1

x

|=1-

1

x

，
當(dāng)x＜1時，1-

1

x

＜0，f（x）=|1-

1

x

|=

1

x

-1，
∴f（x）=

1- 1 x  ，  x≥1 1 x -1 ，0＜x＜1

．
∴f（x）在（0，1）內(nèi)遞減，在（1，+∞）內(nèi)遞增．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）⇒0＜a＜1＜b，
∴

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2，∴2＞2

1 ab

，解得ab＞1，
故選：A．

點評：本題考查的知識點是帶絕對值的函數(shù)，基本不等式的應(yīng)用，其中根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．