Question

已知以T=4為周期的函數(shù)f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5個實數(shù)解，則m的取值范圍為________．

Answer 1

分析：根據(jù)對函數(shù)的解析式進行變形后發(fā)現(xiàn)當x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時，f（x）的圖象為半個橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個實數(shù)解，則需直線y=與第二個橢圓相交，而與第三個橢圓不公共點．把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍．
解答：∵當x∈（-1，1]時，將函數(shù)化為方程x²+=1（y≥0），
∴實質上為一個半橢圓，其圖象如圖所示，
同時在坐標系中作出當x∈（1，3]得圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，
由圖易知直線 y=與第二個橢圓（x-4）²+=1（y≥0）相交，
而與第三個半橢圓（x-8）²+=1 （y≥0）無公共點時，方程恰有5個實數(shù)解，
將 y=代入（x-4）²+=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m，
同樣由 y=與第三個橢圓（x-8）²+=1 （y≥0）由△＜0可計算得 m＜，
綜上可知m∈（，）
故答案為：（，）

點評：本題主要考查了函數(shù)的周期性．采用了數(shù)形結合的方法，很直觀．