Question

8．若函數(shù)f（x）=log_a（$\frac{{x}^{2}+a}{x}$）有最小值1，則a等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 運(yùn)用基本不等式可得$\frac{{x}^{2}+a}{x}$=x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{a}$取得最小值．再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log_a2$\sqrt{a}$=1，解方程可得a=4．

解答 解：由于x＞0，a＞0，
則$\frac{{x}^{2}+a}{x}$=x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{a}$取得最小值．
由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a＞1，
由最小值為1，
可得log_a2$\sqrt{a}$=1，
即為a=2$\sqrt{a}$，
解得a=4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．