Question

已知函數(shù)f（x）=klnx-kx-3（k∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)k=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線與直線x-y-3=0平行，且函數(shù)g（x）=x³+

t

2

x2+x2f'（x） 在區(qū)間（1，2）上有極值，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0 即可得出．
（II）由函數(shù)y=f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線與直線x-y-3=0平行，可得f′（2）=1，解出k=-2，f′(x)=

-2

x

+2．可得g′（x）=3x²+（t+4）x-2，由于函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）上存在極值，注意到y(tǒng)=g′（x）的圖象為開口向上的拋物線，且g′（0）=-2＜0，因此只需

g′(1)＜0 g′(2)＞0

，解出即可．

解答： 解：f′(x)=

k

x

-k(x＞0)．
（Ⅰ）當(dāng)k=-1 時，f′(x)=-

1

x

+1=

x-1

x

，
令f′（x）＞0 時，解得x＞1，令f′（x）＜0 時，解得0＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）． 
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線與直線x-y-3=0平行，
∴f′（2）=1，即

k

2

-k=1，
∴k=-2，f′(x)=

-2

x

+2，
g(x)=x3+(

t

2

+2)x2-2x，
∴g′（x）=3x²+（t+4）x-2，
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）上存在極值，
注意到y(tǒng)=g′（x）的圖象為開口向上的拋物線，且g′（0）=-2＜0，
∴只需

g′(1)＜0 g′(2)＞0

，
解得-9＜t＜-5，
∴t 的取值范圍為（-9，-5）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．