Question

已知x=2是函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)（e=2.718…）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在x∈[

3

2

，3]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x=2是函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)可得到x=2是f′（x）=0的根，從而求出a；
（Ⅱ）研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x可得
f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax-2a-3）e^x=[x²+（2+a）x-a-3]e^x（4分）
∵x=2是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（2）=0
∴（a+5）e²=0，解得a=-5（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=（x-2）（x-1）e^x＞0，得f（x）在（-∞，1）遞增，在（2，+∞）遞增，
由f′（x）＜0，得f（x）在（1，2）遞減
∴f（2）=e²是f（x）在x∈[

3

2

，3]的最小值；（8分）
f(

3

2

)=

7

4

e

3

2

，f（3）=e³
∵f(3)-f(

3

2

)=e3-

7

4

e

3

2

=

1

4

e

3

2

(4e

e

-7)＞0，f(3)＞f(

3

2

)∴最大值為e³，最小值為e²

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．