Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F(xiàn)是其右焦點，過F作橢圓的弦AB，設(shè)|FA|=m，|FB|=n，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的值為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），代入橢圓方程可得：（3+sin²α）t²+6tcosα-9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．利用$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$|\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}|$即可得出．

解答 解：設(shè)直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
代入橢圓方程可得：（3+sin²α）t²+6tcosα-9=0，
∴t₁+t₂=$\frac{-6cosα}{3+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$．
∴|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{12}{3+si{n}^{2}α}$．
取m=t₁＞0，n=-t₂＞0，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$|\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}|$=$\frac{4}{3}$．．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．