Question

13．已知f（x）=xlnx，設其切線為L
（1）求f（x）在（1，0）處切線方程L；
（2）證明：除切點外，f（x）的圖象一直在L上方．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線方程；
（2）令g（x）=f（x）-x+1=xlnx-x+1（x＞0），求出g（x）的導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得證．

解答 （1）解：f（x）=xlnx的導數(shù)為f′（x）=lnx+1，
即有f（x）在（1，0）處切線斜率為k=1，
則f（x）在（1，0）處切線方程l為y=x-1；
（2）證明：令g（x）=f（x）-x+1=xlnx-x+1（x＞0），
g′（x）=lnx+1-1=lnx，
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=1處g（x）取得極小值，也為最小值，且為0．
則有g（x）≥0，
即有xlnx≥x-1．
故除切點外，f（x）的圖象一直在l上方．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值及最值，主要考查導數(shù)的幾何意義，同時考查轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．