Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）證明：{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=n-5a_n-85與S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85作差、整理得a_n+1=$\frac{5}{6}$a_n+$\frac{1}{6}$，變形可知a_n+1-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n-1}是以-15為首項、$\frac{5}{6}$為公比的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知a_n-1=-15•$（\frac{5}{6}）^{n-1}$，進(jìn)而計算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵S_n=n-5a_n-85，
∴S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85，
兩式相減得：a_n+1=1+5a_n-5a_n+1，
整理得：a_n+1=$\frac{5}{6}$a_n+$\frac{1}{6}$，
∴a_n+1-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1），
又∵a₁=1-5a₁-85，即a₁=-14，
∴a₁-1=-14-1=-15，
∴數(shù)列{a_n-1}是以-15為首項、$\frac{5}{6}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知a_n-1=-15•$（\frac{5}{6}）^{n-1}$，
∴a_n=1-15•$（\frac{5}{6}）^{n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．