Question

設(shè)函數(shù)f（e^x）=ex，g（x）=

1

e

f（x）-（x+1）（e=2.718…）
（1）求函數(shù)g（x）的極大值；
（2）令F（x）=

x2

2

-f（x），求函數(shù)y=F（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的解析式，再求g（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進而得到極大值；
（2）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（e^x）=ex，即有f（x）=elnx，
則g（x）=lnx-x-1（x＞0），
g′（x）=

1

x

-1，當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
則有x=1處g（x）取得極大值，且為-2；
（2）F（x）=

x2

2

-elnx，F(xiàn)′（x）=x-

e

x

，
令F′（x）＞0，解得，x＞

e

，令F′（x）＜0，解得，0＜x＜

e

．
則F（x）的增區(qū)間為（

e

，+∞），減區(qū)間為（0，

e

）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．