Question

【題目】已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，數(shù)列前項(xiàng)和記為，前項(xiàng)積記為.

(1) 若，求等比數(shù)列的公比；

(2) 在(1)的條件下，判斷與的大小；并求為何值時(shí)，取得最大值；

(3) 在(1)的條件下，證明：若數(shù)列中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，則總可以使其成等差數(shù)列；若所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次記為，則數(shù)列為等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2），當(dāng)時(shí),最大；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1），求和通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)定義可知，然后根據(jù)公式求，即時(shí)的最大值，再根據(jù)，判斷的最大值；

（3）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中的任意相鄰三項(xiàng)由小到大排列是，若成等差數(shù)列，可求是否成立，并求公差，當(dāng)是偶數(shù)時(shí),設(shè)中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列為，判斷是否成等差數(shù)列，并求公差，并按定義判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列

(1) ，解得，；

(2).又,

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),取得最大值,

又,∴的最大值是和中的較大者,

又，.因此當(dāng)時(shí),最大.

(3),隨增大而減小,奇數(shù)項(xiàng)均正,偶數(shù)項(xiàng)均負(fù),

①當(dāng)是奇數(shù)時(shí),設(shè)中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列為,

則,,

,因此成等差數(shù)列,

公差；

②當(dāng)是偶數(shù)時(shí),設(shè)中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列為,

則,.

∴,因此成等差數(shù)列,

公差,

綜上可知,中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列,總可以使其成等差數(shù)列,

且, ∵,∴數(shù)列為等比數(shù)列.