設函數(shù)f(x)=
(a-2)x(x≥2)
(
1
π
∫-11
1-x2
dx)x-1(x＜2)
，an=f(n)，若數(shù)列{an}是單調遞減數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍為
(-∞，
7
4
)
(-∞，
7
4
)
．
分析：先進行定積分運算求出f（x），進而得到an=f（n），根據(jù)數(shù)列{an}是單調遞減數(shù)列，可得
a-2＜0
(
1
2
)1-1＞(a-2)•2
，解出即得a的范圍．
解答：解：因為
∫
1
-1
1-x2
dx表示單位圓位于x軸上方的半圓面積，所以
∫
1
-1
1-x2
dx=
1
2
π，
則(
1
π
∫
1
-1
1-x2
dx)x=（
1
2
）x，
所以f（x）=
(a-2)x，x≥2
(
1
2
)x-1，x＜2
，
所以an=f（n）=
(a-2)n，n≥2
(
1
2
)n-1，n＜2
，
因為數(shù)列{an}是單調遞減數(shù)列，所以a1＞a2＞…＞an＞an+1＞…，
所以有
a-2＜0
(
1
2
)1-1＞(a-2)•2
，解得a＜
7
4
，
故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，
7
4
）．
故答案為：（-∞，
7
4
）．
點評：本題考查函數(shù)的單調性、定積分及遞減數(shù)列，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=a?b，其中向量
a
=（m，cos2x），
b
=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，2)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=a-
22x+1
，
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
(a-2)x，(x≥2)
(
1
2
)
x
 
-1，(x＜2)
，an=f(n)，若數(shù)列{an}是單調遞減數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
2
，-2)，
b
=(sin(
π
4
+2x)，cos2x)（x∈R）．設函數(shù)f(x)=
a
•
b

（1）求f(-
π
4
)的值；     
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(5
3
cosx，cosx)，
b
=(sinx，2cosx)，其中x∈[
π
6
，
π
2
]，設函數(shù)f(x)=
a
•
b
+|
b
|2+
3
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；        
（2）若f（x）=5，求x的值．

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