Question

已知函數(shù)f（x）=cosxcos（x-

π

3

）
（1）求f（x）的最小正周期和f（x）的遞增區(qū)間；
（2）指出f（x）的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)怎樣變換得到的？

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得函數(shù)解析式為f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，從而由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求f（x）的最小正周期和f（x）的遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=cosxcos（x-

π

3

）=cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

1

2

cos²x+

3

4

sin2x=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，
∴T=

2π

2

=π．
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
∴f（x）的最小正周期是π，f（x）的遞增區(qū)間是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
（2）y=sinx的圖象向左平移

π

6

可得y=sin（x+

π

6

）的圖象，
再把所得圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="1fzjnt1" class="MathJye">

1

2

倍，可得函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象；
再把所得圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="zr1jdxv" class="MathJye">

1

2

倍，可得函數(shù)y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的圖象；
再把所得函數(shù)的圖象向上平移

1

4

個單位，即可得到y(tǒng)=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

的圖象．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．