Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=4，∠BCE=60°．
（1）證明：平面BAE⊥平面DAE；
（2）點P為線段AB上一點，求直線PE與平面DCE所成角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）取BE的中點O，連OC，OF，DF，可利用條件得OC∥FD，再利用條件證得OC⊥平面ABE即可得到平面ADE⊥平面ABE；
（2）以0為原點建立空間直角坐標系O-xyz，設(shè)出P點的坐標，分別求出直線PE的方向向量與平面DCE的法向量，代入向量夾角公式，求出直線PE與平面DCE所成角正弦值的取值范圍，進而可以確定直線PE與平面DCE所成角的取值范圍．

解答：解：（1）證明：取BE的中點O，連OC，OF，DF，則2OF與BA平行且相等（2分）
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD與BA平行且相等，
∴OF與CD平行且相等，
∴OC∥FD（4分）
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．
從而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
（2）以0為原點建立空間直角坐標系O-xyz，如圖，
則已知條件有：C（2

3

，0，0），D（2

3

，0，2），E（0，-2，0）
平面DCE的一個法向量記為

t

=（x，y，z）
則

t • CD =0 t • EC =0

，即

2z=0 2 3 x+2y=0

∴

t

=（1，-

3

，0）…9分
令直線PE與平面DCE所成角為θ
設(shè)P（0，2，Z），（0≤Z≤4）
則sinθ=

| t • EP |

| t |•| EP |

=

2 3

16+z2

…11分
∵0≤Z≤4
∴

6

4

≤

2 3

16+z2

≤

3

2

∴直線PE與平面DCE所成角的范圍為[arcsin

6

4

，

π

3

]…12分

點評：本題考查的知識點是向量語言表述面面的垂直、平行關(guān)系，用空間向量求直線與平面的夾角，其中建立空間坐標系，將空間線面關(guān)系及線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．