Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，射線OA的方程為y=

3

x（x＞0），動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△QOP的面積為2

3

．
（1）求線段PQ的中點M的軌跡C方程；
（2）設R₁、R₂是曲線C上的兩個動點，R₁、R₂到y(tǒng)軸的距離之和為1，求R₁、R₂到x軸的距離之積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：計算題,數(shù)形結合,轉化思想

分析：（1）求出OA的方程，設出M（x，y），P（a，

3

a），Q（0，b），利用中點坐標公式，三角形的面積公式，消去a，b得點M的軌跡C的方程；
（2）設R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，令u=y₁y₂，化為含x₁•x₂的代數(shù)式設t=x₁•x₂（0＜t≤

1

4

），得到u關于t的函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，由單調性求得u的最小值．

解答： 解：（1）射線OA：y=

3

x（x＞0），
設M（x，y），P（a，

3

a），Q（0，b）（a＞0，b＞0），
則a=2x，

3

a+b=2y  ①
又∵△POQ的面積為2

3

，
∴ab=4

3

  ②
聯(lián)立①②消去a，b得點M的軌跡C的方程為：

3

x2-xy+

3

=0（x＞0，y＞0）；
（2）設R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，
令R₁、R₂到x軸的距離之積為u，
∴u=y1y2=

3

(x1+

1

x1

)•

3

(x2+

1

x2

)
=3(x1x2+

1

x1x2

+

x2

x1

+

x1

x2

)=3(x1x2+

2

x1x2

-2)．
令t=x₁•x₂，由x₁+x₂=1，得0＜t≤

1

4

，
∴有u=3（t+

2

t

-2），
當0＜t≤

1

4

時，u′=3-

6

t2

＜0，
∴函數(shù)u=3（t+

2

t

-2）在上單調遞減，
∴當t=

1

4

時，umin=3(

1

4

+

2

1 4

-2)=

75

4

．
∴R₁、R₂到x軸的距離之積的最小值為

75

4

．

點評：本題考查了軌跡方程，利用了消參數(shù)的方法，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，是綜合性較強的題目，屬中高檔題．