【題目】已知函數(shù)，滿足.設(shè)為上任一點(diǎn),過作的切線,其斜率滿足

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若數(shù)列滿足.設(shè)為正常數(shù).

①求；

②若不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)是否存在最大值?若存在,請求出這個(gè)值；若不存在,請說明理由.

【答案】(1) ；(2) ①；② 的最大值為.

【解析】

(1)求出，結(jié)合其單調(diào)性，根據(jù)已知條件，求得即，進(jìn)而可求的值.

(2) ①由題意知，可證明是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求.

②結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷出，從而，即可求出 的值.

(1)解：由題意知，是切點(diǎn).

，.

，， 即.

，在單調(diào)遞增，.

由題意知，,.

，所以，故.

(2) ①解:由題意知,.

，，

則，

.

，

是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列.

，.

②證明:因?yàn)椴坏仁?/span>對任意的恒成立，

所以對任意的恒成立.

設(shè)，，

則，.

設(shè).

當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，，，

.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，

，，

綜上所述， 即 的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）的左右焦點(diǎn)分別為， ，若橢圓上一點(diǎn)滿足，且橢圓過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn) .

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于，求證： ， ， 三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

支付金額

支付方式

不大于2000元

大于2000元

僅使用A

27人

3人

僅使用B

24人

1人

（Ⅰ）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（Ⅱ）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；

（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近幾年，我國鮮切花產(chǎn)業(yè)得到了快速發(fā)展，相關(guān)部門制定了鮮切花產(chǎn)品行業(yè)等級標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)一使用綜合指標(biāo)值進(jìn)行衡量，如下表所示.某花卉生產(chǎn)基地準(zhǔn)備購進(jìn)一套新型的生產(chǎn)線，現(xiàn)進(jìn)行設(shè)備試用，分別從新舊兩條生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中選取30個(gè)樣品進(jìn)行等級評定，整理成如圖所示的莖葉圖.

綜合指標(biāo)

質(zhì)量等級

三級

二級

一級

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖比較兩條生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品的綜合指標(biāo)值的平均值及分散程度（直接給出結(jié)論即可）；

（Ⅱ）若從等級為三級的樣品中隨機(jī)選取3個(gè)進(jìn)行生產(chǎn)流程調(diào)查，其中來自新型生產(chǎn)線的樣品個(gè)數(shù)為，求的分布列；

（Ⅲ）根據(jù)該花卉生產(chǎn)基地的生產(chǎn)記錄，原有生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品的單件平均利潤為4元，產(chǎn)品的銷售率（某等級產(chǎn)品的銷量與產(chǎn)量的比值）及產(chǎn)品售價(jià)如下表：

三級花

二級花

一級花

銷售率

單件售價(jià)

12元

16元

20元

預(yù)計(jì)該新型生產(chǎn)線加工的鮮切花單件產(chǎn)品的成本為10元，日產(chǎn)量3000件.因?yàn)轷r切花產(chǎn)品的保鮮特點(diǎn)，未售出的產(chǎn)品統(tǒng)一按原售價(jià)的50%全部處理完.如果僅從單件產(chǎn)品利潤的角度考慮，該生產(chǎn)基地是否需要引進(jìn)該新型生產(chǎn)線？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）若，求以為直徑的圓被軸所截得的弦長；

（Ⅱ）分別過點(diǎn)作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)（其中），函數(shù)（其中為的導(dǎo)函數(shù)，，為常數(shù)）

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對有恒成立，且在（）處的導(dǎo)數(shù)相等，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，…，為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用表示，即，在分組樣本場合，樣本均值的近似公式為，其中k為組數(shù)，為第i組的組中值，為第i組的頻數(shù).某單位收集到20名青年的某天娛樂支出費(fèi)用數(shù)據(jù)：

79 84 84 88 92 93 94 97 98 99

100 101 101 102 102 108 110 113 118 125

若將分為五組，第一組為，根據(jù)分組樣本計(jì)算樣本均值為（ ）

A.99.4B.143.16C.100D.11.96

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．

（1）若，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．

①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求證：數(shù)列，的公差相等；

②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】BMI指數(shù)是用體重公斤數(shù)除以身高米數(shù)的平方得出的數(shù)值，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).對于高中男體育特長生而言，當(dāng)BMI數(shù)值大于或等于20.5時(shí)，我們說體重較重，當(dāng)BMI數(shù)值小于20.5時(shí)，我們說體重較輕，身高大于或等于170cm時(shí)，我們說身高較高，身高小于170cm時(shí)，我們說身高較矮.某中小學(xué)生成長與發(fā)展機(jī)構(gòu)從某市的320名高中男體育特長生中隨機(jī)選取8名，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：

編號

1

2

3

4

5

6

7

8

身高（cm）

166

167

160

173

178

169

158

173

體重（kg）

57

58

53

61

66

57

50

66

（1）根據(jù)最小二乘法的思想與公式求得線性回歸方程.利用已經(jīng)求得的線性回歸方程，請完善下列殘差表，并求解釋變量（身高）對于預(yù)報(bào)變量（體重）變化的貢獻(xiàn)值（保留兩位有效數(shù)字）；

編號

1

2

3

4

5

6

7

8

身高（cm）

166

167

160

173

178

169

158

173

體重（kg）

57

58

53

61

66

57

50

66

殘差

0.1

0.3

0.9

﹣1.5

﹣0.5

（2）通過殘差分析，對于殘差的最大（絕對值）的那組數(shù)據(jù)，需要確認(rèn)在樣本點(diǎn)的采集中是否有人為的錯(cuò)誤.已知通過重新采集發(fā)現(xiàn)，該組數(shù)據(jù)的體重應(yīng)該為58（kg）.請重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出男體育特長生的身高與體重的線性回歸方程.

參考公式： ，..

參考數(shù)據(jù)：，，，，.

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