函數(shù)f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0。
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與y=f′（x）+5x+m的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的直線若能與曲線y=f（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

解：（1）由題意得
且
∴即
解得，b=3
∴；
（2）由可得


則由題意可得有三個不相等的實(shí)根，
即的圖象與x軸有三個不同的交點(diǎn)，
，則g（x），g′（x）的變化情況如下表：

則函數(shù)f（x）的極大值為
極小值為
的圖象與的圖象有三個不同交點(diǎn)，則有：

解得；
（3）存在點(diǎn)P滿足條件
∵
∴
由得，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
可知極值點(diǎn)為，
線段AB中點(diǎn)在曲線上，
且該曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱
證明如下：∵，
∴，

∴
上式表明，若點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，其關(guān)于的對稱點(diǎn)也在曲線上，曲線關(guān)于點(diǎn)對稱
故存在點(diǎn)，使得過該點(diǎn)的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，這兩個封閉圖形的面積相等。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有下列命題：
①若f（x）存在導(dǎo)函數(shù)，則f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函數(shù)h（x）=cos4x-sin4x，則h′(
π12
)=1；
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!．
④若三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點(diǎn)”的充要條件．
其中真命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、已知函數(shù)f（x）=ax3-6ax2+b（x∈[-1，2]）的最大值為3，最小值為-29，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”；
定義：（2）設(shè)x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（x0，f（x0））對稱．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)
 
；
（2）檢驗(yàn)函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax3-2x2+a2x在x=1處有極小值，則實(shí)數(shù)a等于
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下表為函數(shù)f（x）=ax3+cx+d部分自變量取值及其對應(yīng)函數(shù)值，為了便于研究，相關(guān)函數(shù)值取非整數(shù)值時，取值精確到0.01．
x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
y 0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，研究該函數(shù)的一些性質(zhì)：
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零點(diǎn)，并說明理由．

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