Question

13．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0且a≠1，m≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（3）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）＜3^x-t對(duì)任意x∈[2，3]恒成立，求t的取值范圍；
（4）當(dāng)x∈（n，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義，可得f（-x）+f（x）=0，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得m=-1；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．運(yùn)用單調(diào)性的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得證；
（3）由題意可得t＜3^x-log₃$\frac{x+1}{x-1}$對(duì)任意x∈[2，3]恒成立，運(yùn)用單調(diào)性可得最小值，即可得到t的范圍；
（4）由題設(shè)可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），討論當(dāng)n＜a-2≤-1時(shí)，當(dāng)1≤n＜a-2時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性可得方程，即可解得a，n的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$是奇函數(shù)．
∴f（-x）+f（x）=0，即為log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$+log_a$\frac{1-mx}{x-1}$=0，
$\frac{1-{m}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，可得m=±1，
檢驗(yàn)可得m=-1成立；
（2）f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞1時(shí)，設(shè)1＜m＜n，
f（m）-f（n）=log_a$\frac{m+1}{m-1}$-log_a$\frac{n+1}{n-1}$=log_a$\frac{（m+1）（n-1）}{（m-1）（n+1）}$，
由$\frac{（m+1）（n-1）}{（m-1）（n+1）}$-1=$\frac{2（n-m）}{（m-1）（n+1）}$＞0，
則$\frac{（m+1）（n-1）}{（m-1）（n+1）}$＞1，當(dāng)a＞1時(shí)，f（m）-f（n）＞0，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（m）-f（n）＜0，
則當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）＜3^x-t對(duì)任意x∈[2，3]恒成立，
即為t＜3^x-log₃$\frac{x+1}{x-1}$對(duì)任意x∈[2，3]恒成立，
設(shè)g（x）=3^x-log₃$\frac{x+1}{x-1}$，由（1）和（2）可得g（x）在[2，3]遞增，
則g（x）_min=g（2）=8，
則t＜8；
（4）由題設(shè)可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
當(dāng)n＜a-2≤-1時(shí)，即有0＜a＜1，由（1）和（2）可得f（x）在（n，a-2）遞增，
即有$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{n+1}{n-1}=1}\\{a-2=-1}\end{array}\right.$解得a=1不成立；
當(dāng)1≤n＜a-2時(shí)，a＞3，由（1）和（2）可得f（x）在（n，a-2）遞減，
即有$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{a-1}{a-3}=1}\\{n=1}\end{array}\right.$解得n=1，a=2+$\sqrt{3}$．
綜上可得n=1，a=2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的判斷及運(yùn)用，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和單調(diào)性，屬于中檔題．