Question

5．已知命題P：方程x²+y²+2ax+a=0表示圓；命題Q：方程ax²+2y²=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，若P∧Q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題P：方程（x+a）²+y²=a²-a表示圓，可得a²-a＞0，解得a范圍；命題Q：方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{a}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，可得$\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}$，解得a范圍．若P∧Q為真命題，求出a范圍，即可得出．

解答 解：命題P：方程x²+y²+2ax+a=0即（x+a）²+y²=a²-a表示圓，∴a²-a＞0，解得a＞1或a＜0；
命題Q：方程ax²+2y²=1即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{a}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴$\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}$，解得0＜a＜2．
若P∧Q為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜0}\\{0＜a＜2}\end{array}\right.$，解得1＜a＜2．
∵P∧Q為假命題，
∴a≤1或a≥2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1或a≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．