已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且|AF|+|BF|=2
2
，|AB|最小值為2．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若圓：x2+y2=
2
3
的切線l與橢圓E相交于P，Q兩點，當P，Q兩點橫坐標不相等時，問：OP與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．
（Ⅰ）設(shè)A（x0，y0）B（-x0，y0）F（c，0）（c2=a2+b）
則|AF|+|BF|=2a=2
2
∴a=
2
-----------------------------------------（1分）|AB|=
(2x0)2+(2y0)2
=2
x02+(1-
x02
a2
)b2
=2
b2+
c2x02
a2

∵0≤x02≤a2∴|AB|min=2b=2∴b=1所以有橢圓E的方程為
x2
2
+y2=1-----------------（5分）
（Ⅱ）由題設(shè)條件可知直線的斜率存在，設(shè)直線L的方程為y=kx+m
L與圓x2+y2=
2
3
相切，
∴
|m|
1+k2
=
6
3

∴m2=
2
3
(k2+1)-----------------（7分）
L的方程為y=kx+m代入
x2
2
+y2=1中得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
△=8（2k2+1-m2）＞0令P（x1，y1），Q（x2，y2），
x1+x2=
-4km
1+2k2
①
x1x2=
2m2-2
1+2k2
②
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
m2-2k2
1+2k2
③--------------------（10分）
OP
•
OQ
=x1x2+y1y2=
2m2-2
1+2k2
+
m2-2k2
1+2k2
=
3m2-2k2-2
1+2k2
=0
∴
OP
⊥
OQ
------------------------------------------------------（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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