Question

定義函數(shù)φ（x）=

1，  x≥0 -1， x＜0

，f（x）=x²-2x（x²-a）φ（x²-a）．
（1）解關(guān)于a的不等式f（1）≤f（0）；
（2）已知函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上的最小值為f（1），求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分情況當(dāng)a＞1時(shí)和當(dāng)a≤1時(shí)兩種情形進(jìn)行討論求解；
（2）分情況進(jìn)行分類討論，a≥1和0＜a≤1兩種情形進(jìn)行討論．

解答： 解：（1）由f（1）≤f（0），得1-2（1-a）φ（1-a）≤0，
當(dāng)a＞1時(shí)，φ（1-a）=-1，所以1+2（1-a）≤0，
∴a≥

3

2

；
當(dāng)a≤1時(shí)，φ（1-a）=1，所以1-2（1-a）≤0，
a≤

1

2

，
綜上，不等式的解集為：{a|a≤

1

2

或a≥

3

2

}．
（2）當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=f（1），
根據(jù)題意，對(duì)于任意的x∈[0，1），f（x）≥f（1）恒成立，
當(dāng)a≥1時(shí)，由f（x）≥f（1），得
x²+2x（x²-a）≥3-2a，
即2a（x-1）≤2x³+x²-3，①
∵x∈[0，1），
①等價(jià)于2a≥

2x3+x2-3

x-1

，
∴2a≥2x²+3x+3，
∴2a≥2+3+3．
∴a≥4；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由f（x）≥f（1），得
x²-2x（x²-a）Φ（x²-a）≥2a-1．
當(dāng)

a

≤x≤1時(shí)，x²-2x（x²-a）≥2a-1，
∴2a（x-1）≥2x³-x²-1，②
∵x∈[0，1），②成立，等價(jià)于2a≤

2x3-x2-1

x-1

，
∴2a≤2x²+x+1，
∴2a≤2a+

a

+1，
當(dāng)0≤x＜

a

，x²+2x（x²-a）≥2a-1，
∴2a（x+1）≤2x³+x²+1，③
∵x∈[0，1），
③成立，得
2a≤

2x3+x2+1

x+1

，
∴2a≤2x²-x+1．
若

a

≤

1

4

時(shí)，0＜a≤

1

16

，2a≤2(

a

)2-

a

+1，
所以a≤1，結(jié)合條件，得
0＜a≤

1

16

；
若

a

＞

1

4

時(shí)，

1

16

＜a≤1，2a≤1-

1

8

，
所以a≤

7

16

，結(jié)合條件，
得

1

16

＜a≤

7

16

；
綜上，0＜a≤

7

16

或a≥4．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了分段函數(shù)、恒成立問(wèn)題，函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想等知識(shí)，屬于比較難的題．