已知F1(-2,0),F2(2,0),點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2λ(λ為常數(shù)且0<λ≠2).

(1)求P點(diǎn)的軌跡曲線E的方程;

(2)當(dāng)0<λ<2時(shí),過點(diǎn)M(-λ,0)作兩直線l1、l2與曲線E相交于A、B兩點(diǎn),若MA·MB=0且AB恒過點(diǎn)F2(2,0)時(shí),求λ的值.

解:(1)當(dāng)λ>2時(shí),不存在滿足條件的P,λ=2時(shí),P的軌跡方程為y=0(x≥2);

當(dāng)0<λ<2時(shí),P點(diǎn)的軌跡方程為=1(x≥λ).                         

(討論少一種情況扣1分)

(2)由=1,

即(4-λ2)x22k2(x2-4x+4)-λ2(4-λ2)=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)

∴(4-λ22k2)x2+4λ2k2x-λ2(4k2+4-λ2)=0,

∴x1+x2=,

x1x2=,

y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4],

=(x1+λ,y1),=(x2+λ,y2),

·=0(x1+λ)(x2+λ)+y1y2=0,即x1x2+λ(x1+x2)+λ2+y1y2=0.

∴x1x2+λ(x1+x2)+k2[x1x2-2(x1+x2)+4]+λ2=0.

+4k22=0,

=0,

16k2-4λ2k2-4λ2k4+4λ244k2+8λ2k4-4λ2k2-4λ24-4λ3k2-4λ2k4-4λ2k24k2=0,

化簡(jiǎn)得:k2(-4λ3-12λ2+16)=0.

∵對(duì)任意實(shí)數(shù)k等式恒成立,

∴λ3+3λ2-4=0,∴λ32+4λ2-4=0,

∴λ2(λ-1)+4(λ+1)(λ-1)=0,∴(λ-1)(λ2+4λ+4)=0,∴(λ-1)(λ+2)2=0,

∴0<λ<2,∴λ=1.

此時(shí),P的軌跡方程為x2=1(x≥1),當(dāng)k不存在時(shí),經(jīng)驗(yàn)證也符合條件.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(08年赤峰二中模擬理) 已知F1(- 2, 0), F2 (2, 0), 點(diǎn)P滿足| PF1| - | PF2| = 2, 記點(diǎn)P的軌跡為E.

(Ⅰ) 求軌跡E的方程;

(Ⅱ) 若直線l過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn),

①無論直線l繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng), 在x軸上總存在定點(diǎn)M(m, 0), 使MP ^ MQ恒成立, 求實(shí)數(shù)m的值;

②過P、Q作直線x =的垂線PA、QB, 垂足分別為A、B, 記l =, 求l的取值范圍.

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(本小題滿分12分)
已知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),點(diǎn)P滿足∣PF1∣-∣PF2∣=2,記點(diǎn)P的軌跡為E.
(I)求軌跡E的方程
(II)若直線過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P,Q兩點(diǎn).無論直線繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),在x軸上總存在定點(diǎn)M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求實(shí)數(shù)m的值.

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(本小題滿分12分)

已知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),點(diǎn)P滿足∣PF1∣-∣PF2∣=2,記點(diǎn)P的軌跡為E.

(I)求軌跡E的方程

(II)若直線過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P,Q兩點(diǎn).無論直線繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),在x軸上總存在定點(diǎn)M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求實(shí)數(shù)m的值.

 

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(理)已知F1(-2,0),F2(2,0),點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2,記點(diǎn)P的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程;

(2)若直線l過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn).

①無論直線l繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),在x軸上總存在定點(diǎn)M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求實(shí)數(shù)m的值.

②過P、Q作直線x=的垂線PA、QB,垂足分別為A、B,記λ=,求λ的取值范圍.

(文)已知等差數(shù)列{an}中,a1=-2,a2=1.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)調(diào)整數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1、a2、a3的順序,使它成為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng),求{bn}的前n項(xiàng)和.

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