如圖,直線y=x與拋物線y=x2-4交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點.
(1)求點Q的坐標;
(2)當P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動點時,求△OPQ面積的最大值.
【答案】分析:(1)把直線方程拋物線方程聯(lián)立求得交點A,B的坐標,則AB中點M的坐標可得,利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線的斜率,進而求得AB垂直平分線的方程,把y=-5代入求得Q的坐標.
(2)設(shè)出P的坐標,利用P到直線0Q的距離求得三角形的高,利用兩點間的距離公式求得QO的長,最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ,利用x的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最大值.
解答:解:(1)解方程組即A(-4,-2),B(8,4),
從而AB的中點為M(2,1),
由kAB,直線AB的垂直平分線方程y-1=-2(x-2).
令y=-5,得x=5,
∴Q(5,-5).
(2)直線OQ的方程為x+y=0,設(shè)P(x,x2-4).
∵點P到直線OQ的距離
d==
,∴S△OPQ=|OQ|d=
∵P為拋物線上位于線段AB下方的點,且P不在直線OQ上,
∴-4≤x<4-4或4-4<x≤8.
∵函數(shù)y=x2+8x-32在區(qū)間[-4,8]上單調(diào)遞增,
∴當x=8時,△OPQ的面積取到最大值30.
點評:本題主要考查了拋物線的應(yīng)用,點到直線的距離公式.考查了對解析幾何基礎(chǔ)知識的靈活運用.
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(1)求點Q的坐標;
(2)當P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動點時,求△OPQ面積的最大值.

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如圖,直線y=x與拋物線y=x2-4交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點.
(1)求點Q的坐標;
(2)當P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動點時,求△OPQ面積的最大值.

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如圖:直線y=x與拋物線y=x2-4交于A、B兩點,直線l與直線y=x和y=-5分別交于M、Q,且=0,=
(1)求點Q的坐標;
(2)當點P為拋物線上且位于線段AB下方(含點A、B)的動點時,求△OPQ面積的最大值。

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