【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC= AA1 , D是棱AA1的中點,DC1⊥BD
(1)證明:DC1⊥BC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣C1的大小.
【答案】
(1)證明:在Rt△DAC中,AD=AC,∴∠ADC=45°
同理:∠A1DC1=45°,∴∠CDC1=90°
∴DC1⊥DC,DC1⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC1⊥面BCD
∵BC面BCD
∴DC1⊥BC
(2)解:∵DC1⊥BC,CC1⊥BC,DC1∩CC1=C1,∴BC⊥面ACC1A1,
∵AC面ACC1A1,∴BC⊥AC
取A1B1的中點O,過點O作OH⊥BD于點H,連接C1O,OH
∵A1C1=B1C1,∴C1O⊥A1B1,
∵面A1B1C1⊥面A1BD,面A1B1C1∩面A1BD=A1B1,
∴C1O⊥面A1BD
而BD面A1BD
∴BD⊥C1O,
∵OH⊥BD,C1O∩OH=O,
∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD,∴點H與點D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角
設AC=a,則 , ,
∴sin∠C1DO=
∴∠C1DO=30°
即二面角A1﹣BD﹣C1的大小為30°
【解析】(1)證明DC1⊥BC,只需證明DC1⊥面BCD,即證明DC1⊥DC,DC1⊥BD;(2)證明BC⊥面ACC1A1 , 可得BC⊥AC取A1B1的中點O,過點O作OH⊥BD于點H,連接C1O,C1H,可得點H與點D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角,由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大。
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本,需要知道相交直線:同一平面內,有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內,沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內,沒有公共點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓O的內接四邊形BCED,BC為圓O的直徑,BC=2,延長CB,ED交于A點,使得∠DOB=∠ECA,過A作圓O的切線,切點為P,
(1)求證:BD=DE;
(2)若∠ECA=45°,求AP2的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)滿足an+1=2an , 且a1 , a2+1,a3成等差數(shù)列,設bn=3log2an﹣7.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是直角梯形,.
(1)求二面角的余弦值;
(2)設是棱上一點,是的中點,若與平面所成角的正弦值為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC的內角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知關于x的一次函數(shù).
(Ⅰ)設集合和,分別從集合和中隨機取一個數(shù)作為m和n,求函數(shù)是增函數(shù)的概率;
(Ⅱ)實數(shù)m,n滿足條件求函數(shù)的圖象經過一、二、三象限的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓E: 的左焦點為F1 , 右焦點為F2 , 離心率e= .過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究:在坐標平面內是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.
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