Question

己知⊙O：x²+y²=6，P為⊙O上動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸于M，N為PM上一點(diǎn)，且

PM

=

2

NM

．
（Ⅰ）求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若A（2，1），B（3，0），過B的直線與曲線C相交于D、E兩點(diǎn)，則k_AD+k_AE是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則可設(shè)P（x，y₀），Q（x，0），根據(jù)又

PM

=

2

NM

，可確定y₀=3y，進(jìn)而可知點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓的方程，求得曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），設(shè)出過點(diǎn)B的直線DE的方程，與題意方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出橫坐標(biāo)的和與乘積，求出k_AD+k_AE化簡(jiǎn)即可判斷否為定值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)N（x，y），P（x₀，y₀），則M（x₀，0），

PM

=(0，-y0)，

NM

=(x0-x，-y)
由

PM

=

2

NM

，得

0= 2 (x0-x) -y0=- 2 y

，
∴

x0=x y0= 2 y

…（3分）
由于點(diǎn)P在圓O：x²+y²=6上，則有x2+(

2

y)2=6，即

x2

6

+

y2

3

=1．
∴點(diǎn)N的軌跡C的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ） 設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），過點(diǎn)B的直線DE的方程為y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

消去y得：（2k²+1）x²-12k²x+18k²-6=0，其中△＞0
∴x1+x2=

12k2

2k2+1

，x1x2=

18k2-6

2k2+1

；…（8分）
∴kAD+kAE=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

kx1-(3k+1)

x1-2

+

kx2-(3k+1)

x2-2

=

2kx1x2-(5k+1)(x1+x2)+12k+4

x1x2-2(x1+x2)+4

…（10分）
=

2k• 18k2-6 2k2+1 -(5k+1)• 12k2 2k2+1 +12k+4

18k2-6 2k2+1 -2• 12k2 2k2+1 +4

=

-4k2+4

2k2-2

=-2
∴k_AD+k_AE是定值-2．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，韋達(dá)定理等知識(shí)都有涉及，直線的斜率，綜合性很強(qiáng)．