Question

已知雙曲線(xiàn)(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂,P為雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn),P到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d且d、|PF₁|、|PF₂|成等比數(shù)列.

(1)若y=3x是已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn),求P點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求此雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍.

Answer 1

解:(1)因雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的方程為y=x,故,即b=a.且半焦距c==2a,離心率e=2.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x₀,y₀).

∵d、|PF₁|、|PF₂|成等比數(shù)列,

∴

∴|PF₂|=2|PF₁|,|PF₁|=2d.

又∵|PF₂|-|PF₁|=2a,故|PF₁|=2a,

∴a=d.

∴|x₀|=|d+|=|a+|=a.

∵x₀＜0,則x₀=-a.

∵P(x₀,y₀)在雙曲線(xiàn)上,∴

∴y₀=±a.

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,±a).

(2)由題設(shè)知(e＞1),

∴

∴|PF₁|=,|PF₂|=.

∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|=2c=2ea,

∵,又∵a＞0,e＞1,

∴1+e≥e²-ee²-2e-1≤0.∴1＜e≤1+.