已知雙曲線(a＞0,b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,P為雙曲線左支上一點,P到左準線的距離為d且d、|PF1|、|PF2|成等比數(shù)列.

(1)若y=3x是已知雙曲線的一條漸近線,求P點的坐標;

(2)求此雙曲線離心率e的取值范圍.

解:(1)因雙曲線的一條漸近線的方程為y=x,故,即b=a.且半焦距c==2a,離心率e=2.

設(shè)點P的坐標為(x0,y0).

∵d、|PF1|、|PF2|成等比數(shù)列,

∴

∴|PF2|=2|PF1|,|PF1|=2d.

又∵|PF2|-|PF1|=2a,故|PF1|=2a,

∴a=d.

∴|x0|=|d+|=|a+|=a.

∵x0＜0,則x0=-a.

∵P(x0,y0)在雙曲線上,∴

∴y0=±a.

∴P點的坐標為(-a,±a).

(2)由題設(shè)知(e＞1),

∴

∴|PF1|=,|PF2|=.

∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c=2ea,

∵,又∵a＞0,e＞1,

∴1+e≥e2-ee2-2e-1≤0.∴1＜e≤1+.

練習冊系列答案
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