Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax³-

1

4

x²+cx+d（a、c、d∈R）滿足f（0）=0，f′（1）=0且f′（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a、c、d的值；
（2）若h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，解不等式f′（x）+h（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）先利用f（0）=0，f′（1）=0得到d的值和a，c的關(guān)系式，然后利用一元二次不等式大于等于0恒成立時a＞0，△≤0，求出a的值，從而問題得解；
（2）結(jié)合（1）和已知，先將不等式化簡，即x²-（

1

2

+b）x+

b

2

＜0，然后根據(jù)解一元二次不等式的步驟，先令x²-（

1

2

+b）x+

b

2

=0，解得x=b或x=

1

2

，然后根據(jù)b與

1

2

的大小關(guān)系分類討論，進(jìn)行解答．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

3

ax³-

1

4

x²+cx+d，
∴f′（x）=ax²-

1

2

x+c，
∵f（0）=0，f′（1）=0，
∴d=0，a-

1

2

+c=0，
即d=0，c=

1

2

-a，
從而f′（x）=ax²-

1

2

x+

1

2

-a．
∵f′（x）≥0在R上恒成立，
∴a＞0，△=

1

4

-4a（

1

2

-a）≤0，
即a＞0，（a-

1

4

）²≤0，
解得a=

1

4

，c=

1

4

，d=0，
（2）由（1）知，f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
∵h(yuǎn)（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，
∴不等式f′（x）+h（x）＜0化為

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

+

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

＜0，
即x²-（

1

2

+b）x+

b

2

＜0，
∴（x-

1

2

）（x-b）＜0，
①若b＞

1

2

，則所求不等式的解為

1

2

＜x＜b；
②若b=

1

2

，則所求不等式的解為空集；
③若b＜

1

2

，則所求不等式的解為b＜x＜

1

2

．
綜上所述，當(dāng)b＞

1

2

時，所求不等式的解為(

1

2

，b)；當(dāng)b=

1

2

時，所求不等式的解為∅；當(dāng)b＜

1

2

時，所求不等式的解為(b，

1

2

)．

點(diǎn)評：此題是導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問題，同時考查了一元二次不等式大于等于0恒成立的條件和分類討論的數(shù)學(xué)思想．