Question

設(shè)斜率為的直線交橢圓：于兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在）．
（1）求×的值．
（2）把上述橢圓一般化為（＞＞０），其它條件不變，試猜想與關(guān)系(不需要證明)．請(qǐng)你給出在雙曲線（＞０，＞０）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）
（2）略

解（一）：（1）設(shè)直線方程，代入橢圓方程并整理得:
,
,又中點(diǎn)M在直線上，所以，從而可得弦中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，所以
解（二）設(shè)點(diǎn)，中點(diǎn) 則
   
又與作差得 所以
（2）對(duì)于橢圓，  
已知斜率為的直線交雙曲線（＞０，＞０）于兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在）．
則×的值為．
（解一）、設(shè)直線方程為，代入（＞０，＞０）方程并整理得：
，，
所以，即  
(解二）設(shè)點(diǎn)中點(diǎn)
則     
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則與作差得
   即