Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增取區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位后，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的最大值及取得最大值時的x的集合．

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1為一個角的有關(guān)三角函數(shù)的形式，利用y=sinx的增減性求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增取間．
（2）求出g(x)=

2

sin(x+

π

4

)，求出最大值時的x的值即可．

解答：解：（1）f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)即kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，(k∈Z)，
因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增取間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

4

](k∈Z)．
（2）由已知，g(x)=

2

sin(x+

π

4

)，
∴當(dāng)sin(x+

π

4

)=1，即x+

π

4

=2kπ+

π

2

，也即x=2kπ+

π

4

(k∈Z)時，g(x)max=

2

．
∴當(dāng){x|x=2kπ+

π

4

(k∈Z)}，g（x）的最大值為

2

．

點評：本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)圖象的變化，三角函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．