Question

設函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)沒有極值點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求導，利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)沒有極值點，只需f′（x）=0在（-1，1）上沒有實根即可．
（Ⅲ）先求出f（x）_max，再由題意得f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1，再分離參數(shù)，再求函數(shù)的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a），
又a＞0，∴當x＜-a或x＞

a

3

時f′（x）＞0；
當-a＜x＜

a

3

時，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a），（

a

3

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-a，

a

3

）．
（Ⅱ）由題設可知，方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上沒有實根，
∴

f′(-1)＜0 f′(1)＜0 a＞0

，解得a＞3．
故a的取值范圍為（3，+∞）
（Ⅲ）∵a∈[3，6]，∴由（Ⅰ）知

a

3

∈[1，2]，-a≤-3
又x∈[-2，2]
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m 
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a²的最小值為-87
∴m≤-87．
故m的取值范圍為（-∞，87]

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，還考查了變量分離的思想方法，屬于中檔題．