Question

已知直線(xiàn)l：y=kx+1過(guò)定點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿(mǎn)足|

MA

|=|y+1|，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）直線(xiàn)l與C交于P、Q兩點(diǎn)，以P、Q為切點(diǎn)分別作C的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)B．
①求證：AB⊥PQ；
②若直線(xiàn)AB與C交于R、S兩點(diǎn)，求四邊形PRQS面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出定點(diǎn)A，再由兩點(diǎn)距離公式，化簡(jiǎn)整理即可得到C的方程；
（2））①設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程得到切線(xiàn)，兩式相減，求得B的橫坐標(biāo)，代入求得縱坐標(biāo)，再由直線(xiàn)的斜率即可判斷垂直；
②聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再設(shè)四邊形PRQS面積S=

1

2

|PQ|•|RS|，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，再由基本不等式，即可求出最小值．

解答： （1）解：直線(xiàn)l：y=kx+1過(guò)定點(diǎn)A（0，1），
動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿(mǎn)足|

MA

|=|y+1|，則有x²+（y-1）²=（y+1）²，
化簡(jiǎn)得，x²=4y，即有C的方程：x²=4y；
（2）①設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁=kx₁+1，
由直線(xiàn)l和拋物線(xiàn)方程，聯(lián)立，消去y，得，x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程得，x₁x=2（y+y₁），x₂x=2（y+y₂），
兩式相減得，x=

2(y1-y2)

x1-x2

=2k，則y=kx₁-y₁=-1．
即有B（2k，-1），AB斜率為

1+1

-2k

=-

1

k

，
則有AB⊥PQ；
②直線(xiàn)AB：y=-

1

k

x+1與拋物線(xiàn)交于R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），
則易得x₃+x₄=

4

-k

，x₃x₄=-4，
四邊形PRQS面積S=

1

2

|PQ|•|RS|=

1

2

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

•

1+ 1 k2

(x3+x4)2-4x3x4

=

1

2

1+k2

(4k)2-4×(-4)

•

1+ 1 k2

•

( 4 -k )2-4×(-4)

=8•

(1+k2)2

k2

=8（k²+

1

k2

+2）≥8（2

k2• 1 k2

+2）=32．
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1，取得最小值32．
則四邊形PRQS面積的最小值為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)方程及運(yùn)用，考查直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，考查基本不等式的運(yùn)用和切線(xiàn)的方程求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．